相似三角形的性质定理[关于相似三角形的总结知识盘点]

什么是相似三角形

对应边成比例的三角形是相似三角形

相似三角形的判定

①两个角对应相等的两个三角形相似(AA)

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②两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似(SAS)

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③三边对应成比例的两个三角形相似(SSS)

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相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等,对应边成比例

②相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、对应周长的比都等于相似比

做高、做平分线,依然可以得到2对角相等,通过AA可以得到新的相似,可得高之比等于相似比

做中线,可以得到2对相似边和一对夹角,通过SAS得新的相似,可得高之比等于相似比。

周长就是三边之和,周长之比自然就是相似比

③相似三角形的面积比等于相似比的平方

面积=一条边×这条边的高,边之比是相似比,高之比是相似比,面积之比自然是平方比。

相似三角形的应用

通过相似三角形,证明三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段。

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D、E是中点,求证AO:OE=2:1

连接CE,易得DE//,AD=2DE,平行之后有很多角相等,很容易根据AA来证得△AOD∽△EOC,

所以AO:OE=AD:DE=2

这算是相似三角形的基本应用了,在解决数学问题中,往往借助相似三角形得出线段的比例关系。

相似三角形中的常见图形

1、‘A型图’

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DE//BC,可得角相等,很容易通过AA得到△ADE∽△ABC

2、‘ X型图’

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DE//BC,可得角相等,很容易通过AA得到△ADE∽△ABC

3、‘K型图’

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‘K型图’的本质就是利用平角和180°、三角形和180°,你加我,我加他,最后得出等角。2对等角,就可以根据AA得到△ADE∽△ABC

4、母子型(有直角)

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有公共角,有直角,根据AA可以得到大三角形和小三角形分别相似。相似之后,对2个小三角形来说,有两边对应成比例,且有夹角180°,根据SAS又可以得到2个小三角形相似。有直角的母子性,有三对相似。

母子型中特别重要的射影定理:

之所以叫射影,可以把CD看成垂直地面的一个杆子,CA是光线,AD是影子,CB是光线,DB是影子,形象、贴切!

这个杆子是公用的,也就是在相似三角形中,有一条边是公用的,这就有了如下等式:

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AC、BC、CD之所以要平方,是因为它们在自己的相似三角形中,是公共边。有了这个定理,就可以做到,给2边求1边。之所以有3个等式,因为有三组相似!

当然我们还可以通过这个等式,得到两边对应成比例,这时候再来一夹角相等,我们也可以得到相似三角形。

所以说射影定理很好、很重要!

5、母子型(普通)

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∠1=∠2,公共角∠C,根据AA得到△ABC∽△BDC.

因为相似只有一对,所以只能得到一个等式。

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